5.4減速器的多目標動態(tài)優(yōu)化設計
5.4.1設計變量
根據圓柱正弦活齒減速器的結構和優(yōu)化的目標來確定設計變量，有關設計變量共為7個，分別為：主動軸參與嚙合軸段半徑rl、活齒半徑r、導架參與嚙合軸段壁厚b2、滾道深度b、空間正弦軌跡曲線幅值A、主動軸參與嚙合軸段軸長l1、導架參與嚙合軸段軸長l2。則設計變量為
x=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7]=［r1，r，b2，b，A，l1，l2] （5-18）
各設計變量的含義見圖5-6。
5.4.2目標函數(shù)
5.4.2.1分目標函數(shù)的確定本課題研究的目的是為設計出結構緊湊、徑向尺寸小、傳動效率高、可靠性高、動態(tài)性能好的新型圓柱正弦活齒減速器，并以此為依據來確定多目標優(yōu)化設計的目標函數(shù)。
為使設計出的減速器適應工況要求，在傳動比一定，滿足傳遞扭矩的前提下，減速器的徑向尺寸V應盡量減小，因此首先將減速器的徑向尺寸最小科：為多目標優(yōu)化的目標函數(shù)之一。即
f1（x）=min（V）=min（x1+2x2-x4） （5-19）
嚙合副的滑動率U是影響齒輪傳動效率的一個重要因素，為降低嚙合副間的磨損，提高傳動效率，將滑動率最小也作為多目標優(yōu)化中的目標函數(shù)之一。即
f2（x）=min（U） （5-20）
接觸副間的疲勞點蝕是傳動的主要失效形式，為了提高傳動的可靠性，提高工作壽命，將活齒傳動接觸強度的可靠性最大作為目標函數(shù)之一。在圓柱正弦活齒傳動中，活齒分別與主動軸、導架、殼體接觸，各嚙合副接觸強度的可靠性分別為Rl,R2,R3，則選取三者中可靠性最低的接觸副作為優(yōu)化目標R，即R=min{Rl,R2,R3}，并使R的可靠度達到極大值，為使各目標函數(shù)統(tǒng)一目際測度，故選取目標函數(shù)為使三者中可靠性最低的接觸副的失效率最低，也即
f3（x）=min（1-R）=min（1-min{Rl,R2,R3}） （5-21）
為使減速器系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，應使系統(tǒng)各階模態(tài)柔度比較均勻，特別是危險模態(tài)的動柔度要盡可能小，設減速器系統(tǒng)的各階模態(tài)柔度值為Ai（i=1,2,3)，通�？蓪⑦@三階的模態(tài)柔度值作為分目標函數(shù)，由于減速器的二階模態(tài)柔度較其它階的值要大得多，所以僅取max{A1}作為目標函數(shù)，并使其達到極小值，也即分目標函數(shù)為
f4（x）=min（max{A1，A2，A3}） （5-22）
為滿足各階模態(tài)柔度盡可能均勻的要求，可建立另一分目標函數(shù)為
式中Av——三階模態(tài)柔度的均值（rad·（N·mm）-1）
綜上所述，為設計出高性能的圓柱正弦活齒減速器，需對其進行多目標動態(tài)優(yōu)化設計，優(yōu)化目標為使減速器體積、嚙合副間滑動率、危險模態(tài)的動柔度達到極小值，嚙合副接觸強度的可靠度達到極大值，并使系統(tǒng)各階模態(tài)柔度盡可能均勻。由此可見，分目標函數(shù)共為5個：
f={f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），f5（x）} （5-24）
5.4.2.2神經網絡訓練樣本和權值的確定
在圓柱正弦活齒減速器的多目標優(yōu)化設計中，優(yōu)化目標f4（x）、f5（x）的函數(shù)值是經過系統(tǒng)動態(tài)分析直接得到的，體現(xiàn)了機械結構振動系統(tǒng)的設計變量與其動態(tài)特性參數(shù)之間的關系，是一種高度非線性的映射關系，因此無法用一個簡單的數(shù)學函數(shù)來表示。本文采用神經網絡實現(xiàn)機械系統(tǒng)設計變量與其動態(tài)特性參數(shù)之間的映射，并利用該神經網絡模型建立新的分目標函數(shù)f4′（x）、f5′（x）。為了能夠提供訓練樣本，在第4章我們建立了圓柱正弦活齒減速器的動力學分析模型，并對其進行了動態(tài)特性分析，具體步驟這里不再贅述。分別利用神經網絡對優(yōu)化目標函數(shù)f4(x）、f5（x）進行函數(shù)逼近，現(xiàn)以f4（x）為例說明神經網絡建立和訓練的過程。
將上述的設計變量作為BP向絡的輸入量，代入計算f4（x）的程序中得到最大模態(tài)柔度值作為網絡的教師樣本，通過不斷改變設計變量的值可以得到多組設計變量與最大模態(tài)柔度值之間映射的樣本，在這里選取38組映射作為神經網絡訓練樣本。由于系統(tǒng)有7個設計變量，因此可以建立一個輸入層7個節(jié)點，隱含層7個節(jié)點，輸出層1個節(jié)點的三層BP神經網絡模型。有了訓練樣本和網絡模型后，就可以利用Matlab中的神經網絡工具箱進行訓練，以便得到設計變量與最大模態(tài)柔度之間的精確映射關系。
進行動態(tài)優(yōu)化時，若要建立起目標函數(shù)，首先要獲得一組能夠精確計算f4（x）的權值，這就需要通過樣本訓練BP神經網絡，當誤差精度達到要求時，訓練停止，并得到了該組權值，利用該組權值與設計變量通過三層BP網絡可以計算出訓練后的分目標函數(shù)值f4（x）。在訓練神經網絡時，學習速率取為0.01，動量常數(shù)取為0.9，目標誤差取為l×10-16。當訓練結束時，網絡輸出值與樣本目標值之間的誤差均方根值為8.8386×l0-17（見圖5-7)，訓練過程誤差的變化情況及訓練完成后網絡輸出值與樣本目標值對比情況如圖5-8所示。
以同樣的方法對f5（x）進行神經網絡訓練，目標誤差取為1×10-6，網絡輸出值與樣本目標值之間的誤差均方根值為9.7271×10-7（見圖5-9），訓練過程誤差變化情況及訓練完成后網絡輸出值與樣本目標值對比情況如圖5-10所示。
在建立神經網絡模型過程中，需要注意以下幾方面的問題：
1.輸入參數(shù)的選擇 輸入參數(shù)選擇的正確與否是神經網絡建模的關鍵，若輸入參數(shù)太多，將會影響建模的效率，若輸入不足，又會影響建模精度。本文經過對圓柱正弦活齒減速器各設計變量的仔細分析，選出其中的7個變量作為神經網絡模型的輸入參數(shù)。
2.訓練樣本的選擇 如何在整個設計空間選擇樣本才能使建立起來的網絡模型具有全局性，即解決樣本泛化問題，是神經網絡理論中一個有待深入研究的問題，它直接影響到神經網絡模型的精度與實用性。本文在各設計變量允許的范圍內，選取了38個訓練樣本。
3.隱層節(jié)點數(shù)的選擇 選用隱層節(jié)點數(shù)的多少關系到網絡建模的成敗，隱層節(jié)點的數(shù)目與所選取的訓練樣本空間有關，隱層節(jié)點數(shù)太少，網絡難以處理較夏雜的問題，并且會使網絡建模誤差增大，但若隱層節(jié)點數(shù)太多，將使網絡訓練時間急劇增加，又會影響訓練速度。本文在訓練神經網絡過程中，經過反復嘗試后認為選取7個隱層節(jié)點數(shù)時訓練效果最好。
4.學習速率的選擇 學習速率的大小對算法的收斂特性有很大的影響。若取值太大，會出現(xiàn)算法不收斂。若學習速率選擇太小，會使訓練過程時間大大增加，影響計算效率。一般選擇為0.01～0.1，本文根據訓練過程中梯度變化和均方誤差變化值，選取學習速率為O.01。
5.4.3模糊約束條件
5.4.3.1約束條件的確定 考慮從完全許用到完全不許用的中介過渡過程，把活齒傳動的接觸強度和扭轉剛度等性能約束，嚙合角、不頂切條件等幾何約束，各設計變量的上下限約束等的取值范圍，均視為設計空間上的模糊子集，于是得到如下的約束條件：
(l）為避免活齒接觸副間發(fā)生疲勞點蝕等失效形式，活齒嚙合副間的接觸應力應小于接觸疲勞強度許用應力，其中各嚙合副接觸應力的計算公式見式(3-l)，即
(2）為保證傳動軸在扭轉時具有足夠的強度，必須使其最大的工作剪應力，不超過材料的許用剪應力，在圓柱正弦活齒減速器的傳動軸中，導架的空心軸段部分是最為薄弱的環(huán)節(jié)，則其扭轉的強度條件應滿足：
式中 T——輸出扭矩（N·mm）；
Wn——抗扭截面系數(shù)Wn=π/16D（D4-d4）；
D——導架空心軸段部分外徑（mm）；
d——導架空習軸段部分內徑（mm）。
(3）一般機械設備中的傳動軸除了要求具有足夠的強度外，往往還要求其變形限制在一定的范圍內，即要求傳動軸要具有一定的剛度，也就是軸最大單位長度的扭轉角不能超過軸單位長度許用扭轉角，則導架扭轉的剛度條件為：
式中 IP——截面極慣矩
GIP——抗扭剛度（N·m）。
(4）在設計圓柱正弦活齒傳動的滾道的結構尺寸時，為保證接觸副間正確的傳力，需考慮在傳遞扭矩一定的前提下，滾道的深度應滿足活齒嚙合副間接觸力的最大嚙合角的限制，即
（5）為滿足活齒傳動正確連續(xù)傳動的條件，正弦滾道齒形必須保證不發(fā)生頂切，即
（6）設計變量上下界約束為
5.4.3.2隸屬函數(shù)及容差的確定 模糊約束的隸屬函數(shù)，應根據約束的性質來具體確定，為簡便計算，本文均采用線性嫦娥屬函數(shù)，對于性能約束采用的隸屬函數(shù)形式為
無論選擇何種形式的隸屬函數(shù)，都需要確定模糊過渡區(qū)間的上、下界。為此，首先需要確定過渡區(qū)間的容差。所謂容差，即為過渡區(qū)間的總長度，實際上就是約束限制的容許偏差。確定容差的方法有概率分析法、模糊綜合評判法、擴增系數(shù)法等。前兩種方法需要有足夠的統(tǒng)計分析資料，工程中常用的是擴增系數(shù)法。擴增系數(shù)法是在充分考慮以往普通設計規(guī)范和設計經驗的基礎上，通過引入擴增系數(shù)β（包括上增擴系數(shù)
和下增擴系數(shù)β）來確定過渡區(qū)間上、下界的一種方法。
通常選取=1.05～1.30，β=0.7～0.95。
5.4.3.3最優(yōu)水平截集的確定 采用最優(yōu)水平截集法來實現(xiàn)從模糊優(yōu)化模型向普通優(yōu)化模型的轉化。當我們規(guī)定某一隸屬度λ（O≤λ≤1）值的時候，就由模糊集合分解出一個普通的集合，將模糊優(yōu)化問題轉化為普通優(yōu)化問題處理；而一系列不同的λ的普通集合又對應一個模糊集合。因此，λ截集是溝通普通集合與模糊集合的橋梁。λ取值越大，設計結果越可靠，λ取值越小，設計結果越經濟，所以在[O,l]區(qū)間內存在一個最佳的λ*值，使設計結果既經濟又可靠，尋求最優(yōu)λ*截集，是實現(xiàn)模糊優(yōu)化設計向普通優(yōu)化設計轉化的關鍵。本文采用二級模糊綜合評判的方法求解λ*，分別建立備擇集、因素集、因素權重集、因素等級權重集，并確定評判數(shù)學模型，由此計算出最優(yōu)置信水平λ*。
下面給出采用二級模糊綜合評判法的具體步驟。
1.確定因素集 采用二級模糊綜合評判確定最優(yōu)水平值λ*。將模糊優(yōu)化模型轉化為最優(yōu)水平截集上的常規(guī)優(yōu)化模型。影響λ*取值的因素、因素等級及其隸屬度見表5-1。隸屬度可以采用模糊統(tǒng)計法或由專家打分法確定，本文采用專家打分法。
2.確定備擇集 備擇集是以評判者對評判對象可能做出的各種總的評價結果為元素組成的集合。本設計的評判對象是水平截集λ，其取值區(qū)間范圍是[0,1]區(qū)間。根據設計條件及要求，分別以兄的各離散值作為評判對象，因此取備擇集為
λ={0.30,0.40,0.50,0.60,0.65,0.70,0.75,0.80,0.85,0.90} (5-33)
3.確定因素權重集及因素等級權重集 不同的因素相對于評判對象的重要程度不同，為準確反映各因素及因素等級對評判對象λ的影響，應賦予各因素及因素等級相應的權重W和wi。在模糊綜合評判過程中，權數(shù)的確定非常重要。根據各設計條件，確定因素權重集W為
W={0.25,0,30,0.20,0.10,0.10,0.05} (5-34)
表5-1影響因素等級及其隸屬度
| 影響因素 |
因素等級 |
隸屬度 |
| 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| μ1設計水平 |
高 |
較高 |
一般 |
較低 |
低 |
1.0 |
0.8 |
0.3 |
0 |
0 |
| μ2制造水平 |
高 |
較高 |
一般 |
較低 |
低 |
1.0 |
0.7 |
0.5 |
0 |
0 |
| μ3材質好壞 |
好 |
較好 |
一般 |
較差 |
差 |
1.0 |
0.8 |
0.2 |
0 |
0 |
| μ4使用條件 |
好 |
較好 |
一般 |
較差 |
差 |
0 |
0 |
0.5 |
0.8 |
1.0 |
| μ5重要程度 |
不重要 |
不太重要 |
一般 |
較重要 |
重要 |
0 |
0 |
0.5 |
0.9 |
1.0 |
| μ6維修費用 |
少 |
較少 |
一般 |
較大 |
大 |
0 |
0 |
0.5 |
0.85 |
1.0 |
根據表5-1可分別計算得到各因素等級的權重集Wi
4.進行一級模糊綜合評判 一級模糊綜合評判即單因素評判，它通過綜合一個因素的各個等級對評判對象取值的影響來處理因素的模糊性。根據各因素等級次序對評判對象λ的影響，確定各因素的等級評判矩陣Ri（i=1，2，…，6）。以μ1（設計水平）為例，其等級評判矩陣R1確定為
R1的含義為：當設計水平高時，λ截集水平取低值，表現(xiàn)為對評判對象λ的隸屬度由大到小，即設計參數(shù)許用范圍可稍大；反之，設計水平低，λ截集水平取高值。采用M（·,+）合成運算模型，分別對第i個因素作一級綜合評判，該模型按照普通矩陣乘法計算，能保留一部有用信息，可以全面考慮各個因素的影響以及各單因素的評判結果，得一級模糊綜合評判集Bi=WiоRi。由Bi（i=1，2，…，6）構成二級模糊綜合評判矩陣R。以計算B1為例
B1=WiоR1=[b1，b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8，b9，b10]
=[0.757，0.814，0.786，0.681，0.538，0.381，0.243，0.138，0.043，0.014] （5-37）
5.進行二級模糊綜合評判 進行二級模糊綜合評判，首先確定綜合模糊變換矩陣R
綜合考慮各因素的影響，利用模糊變換矩陣，采用M（·，+）合成運算模型，得到二級模糊綜合評判的總的評判結果為
B＝WоR=(0.591,0.654,0.674,0.651,0.583,0.502,0.407,0.314,0.231,0.183)
6.確定最終評判結果 采用加權平均法，取以bi為權數(shù)，對各個備擇元素凡進行加權平均的值作為評判的結果，即
結合前面計算結果，利用式（5-39)，求出最優(yōu)水平截集λ*=0.5875。從而將模糊優(yōu)化問題轉化為常規(guī)優(yōu)化問題。
5.4.4基于灰色聚類分析的減速器多目標優(yōu)化設計
在圓柱正弦活齒傳動系統(tǒng)的多目標優(yōu)化設計中，應用灰色聚類分析方法，在多個滿意解之間求解出一個最滿意解。因此，首先必須求解出幾組多目標優(yōu)化的滿意解。由于選取滿意解的出發(fā)點不同，從而導致不同的決策方法。在機械多目標優(yōu)化設計中常用的解法有：主要目標法、理想點法、線性加權組合法、平方加權組合法、乘除法及功效系數(shù)法等。本文采用主要目標法求解多目標優(yōu)化的滿意解。
主要目標法即保留設計者認為最重要的目標函數(shù)，將其余的目標函數(shù)降為約束條件的方法。例如，若設f1（x）為主要目標，則優(yōu)化數(shù)學模型變?yōu)?/p>
求x=（x1，x2，…，xn)T
使minf1（x) (5-40)
s.t gj（x）≤0（j=1，2，…，J）
gj（x）=[f1（x）-fi0]≤0 i=2，…，I
式中 fi0——原問題第i個目標函數(shù)的上限值（i=2，…，I）。
本文中分別以各分目標函數(shù)作為主要目標，將其它分目標函數(shù)作為約束條件，應用Matlab工程軟件中的優(yōu)化工具箱進行單目標優(yōu)化，可分別得到5組優(yōu)化設計的滿意解，加上優(yōu)化前的初選設計參數(shù)x=（20.5，4，3，2，4，24，64）T，則所有滿意解圓整后如下所示
x（1）=（18，5，3，3，3，5，22，68）T
x（2）=（18.5，5，5，2，4，22，68）T
x（3）=（20.5，5，5，2，4，5，22，68）T
x（4）=（20.5，4，3，2，4，24，64）T
x（5）=（22，5，3，3，4，22，68）T
x（6）=（22.5，5，4，3，2，3.5，22，68）T
下面將利灰色聚類分析方法，在6組滿意解中求解出一個最滿意解。將每組滿意解分別代入分目標函數(shù)中，得到樣本矩陣為
轉換樣本矩陣，對所有目標采用下限效果測度，根據式（5-7）得到象矩陣為
根據式（5-10），在象矩陣中尋找最大、最小、中等的閾值，得到d（max）=1；d（mean）=0.7949；d″（min）=0.1704。因此取綜合評價權重的相對閾值為A=（1.0，0.8，0.2）。
對象矩陣進行聚類，聚類類別選為“1”、“2”、“3”三類，其白化函九分別與式（5-12）～（5-14）和圖5-4對應。現(xiàn)以f1為例，說明求得白化函數(shù)閾值的方法。對應象矩陣中的第一列，d（max）=1；d（mean）=0.917，取0.9，d（min）=0.8621，取0.86。因此，對于灰類1，有x1=0，x2=1；對于灰類2，有x1=0，x2=0.9，x3=2×x2=1.8；對于灰類3，有x1=0.86，x2=2×x1=1.72。同理可求出其余各分目標各類白化權的閾值，代入式（5-12）～（5-14）中求出各類白化權函數(shù)及其值。按式（5-15）求出標定聚類權矩陣η
將ηjk代入式（5-16），求出聚類系數(shù)矩陣σ
對σ進行歸一化處理得到歸一化矩陣σc
將數(shù)值代入式（5-17）中得到
W=（W1，W2，W3，W4，W5，W6）T
=（0.6453，0.6744，0.7073，0.6344，0.7032，0.6221）T （5-46）
由式（5-46）可見，W3=0.7037最大，則其對應的解為最滿意解。也即
x*=(20.5,5,5,2,4.5,22,68）T
且滿意解的優(yōu)劣次序為F3，F(xiàn)5，F(xiàn)2，F(xiàn)1，F(xiàn)4，F(xiàn)6。
為了驗證優(yōu)化后的結構方案是否優(yōu)于原設計方案，將優(yōu)化前、后減速器靜、動態(tài)特性指標作出對比如表5-2所示。
表5-2優(yōu)化前后減速器性能對比
| |
徑向尺寸(mm) |
主動軸接觸強度可靠度 |
殼體接觸強度可靠度 |
導架接觸強度可靠度 |
| 優(yōu)化前 |
26.5 |
0.9744 |
0.9781 |
0.9145 |
| 優(yōu)化后 |
28.5 |
0.9992608 |
0.9999511 |
0.998002 |
| |
滑動率 |
最大模態(tài)柔度×10-6（rad/(N·mm)) |
模態(tài)柔度均度 |
基頻(Hz) |
| 優(yōu)化前 |
0.6341 |
1.78412 |
3.4316 |
644.357 |
| 優(yōu)化后 |
0.6398 |
1.33922 |
3.1288 |
726.257 |
對表5-2分析可知，優(yōu)化后的減速器設計方案除徑向尺寸和滑動率兩項指標外，其它性能指標均優(yōu)越于優(yōu)化前的設計方案，特別在可靠性和動態(tài)特性方面得到較大的優(yōu)化。通過與原設計方案比較可以發(fā)現(xiàn)，減速器主動軸、導架及殼體接觸疲勞強度的可靠度均有了很大的提高；系統(tǒng)的二階危險模態(tài)柔度從l.78412×l0-6rad/（N·mm）降低到優(yōu)化后的1.33922×l0-6rad／（N·mm)，模態(tài)柔度均度從3.4316降低到優(yōu)化后的3.1288，說明各階模態(tài)柔度的分布更為均勻。此外，優(yōu)化后的系統(tǒng)基頻有了很大的提高，由原來644.357Hz提高到726.257Hz，其激勵頻率為25Hz，可見，優(yōu)化后結構的振動水平比原設計方案得到了相當大的改善。
5.5本章小結
1.基于BP神經網絡的高度非線性映射功能，利用第4章所建立起來的動力學分析模型，獲得了38組結構設計變量和對應的動態(tài)特性參數(shù)的神經網絡訓練樣本，通過訓練，建立起了能夠實現(xiàn)結構設計變量與動態(tài)特性參數(shù)之間映射的三層BP神經網絡模型，實現(xiàn)了圓柱正弦活齒減速器結構設計變量與其動態(tài)特性參數(shù)之間的映射關系。從而建立了多目標優(yōu)化設計的動態(tài)分目標函數(shù)；
2.把模糊優(yōu)化設計成功地應用到了圓柱正弦活齒減速器的優(yōu)化設計中，充分考慮了約束條件的模糊性，使計算結果與實際結合得更緊密，更具有應用價值，采用最優(yōu)水平截集進行優(yōu)化設計，考慮了結構設計參數(shù)的各種影響因素，更充分的體現(xiàn)了經濟性；
3.從圓柱正弦活齒減速器的結構及其靜、動態(tài)特性出發(fā)建立子5個分目標函數(shù)，同時考慮強度、剛度及幾何等約束條件，建立圓柱正弦活齒減速器多目標優(yōu)化設計數(shù)學模型。利用灰鉤聚類分析方法，最終得到多目標優(yōu)化設計的最滿意解。
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